미적분의 쓸모

<겨울왕국> <라이온 킹>의 전 세계 흥행 비결 뉴턴이 고안하고 과학혁명을 견인한 방정식 인공지능을 학습시키는 최적의 방법 재난지원금을 가장 효과적으로 배분하는 방법은? 단타 vs 장투, 미적분이 권하는 안전한 투자 전략 스페이스X, 주식, 기후변화, 의료진단, 인공지능까지 미적분은 어떻게 세상을 움직이고 있는가 베스트셀러 《수학의 쓸모》 후속작 “미적분의 본질을 꿰뚫는 책” _최영기, 서울대학교 수학교육과 교수, 《이런 수학은 처음이야》 저자 미적분은 어렵다. 사실이다. 미적분을 현장에서 직접 활용하는 공학자들도 미적분을 수학에서 가장 어려운 분야로 꼽는다. 전문 분야에서 쓰이는 미적분은 실제로도 그 계산이 너무 복잡해서 컴퓨터에 맡길 수밖에 없다. 하지만 사람들이 생각하는 것과 달리 미적분의 개념만큼은 보통 사람들도 충분히 이해할 수 있다. 미적분방정식을 풀거나 인공지능 프로그램을 만들지 못하더라도 미적분을 활용할 수 있다. 컴퓨터 전공자가 아니라도 컴퓨터를 사용하고, 스마트폰의 구조를 몰라도 스마트폰을 능숙하게 다루는 것과 같은 이치다. 이 책은 로켓 발사, 차량 속도 측정, 딥러닝, 단층촬영 등 첨단 과학기술 분야를 비롯해 경제예측, 기상예보와 같이 앞으로 일어날 미래를 예측하는 데 미적분이 어떻게 활용되는지 우리에게 익숙한 사례를 통해 보여준다. 학창 시절 배운 미적분 공식이 기억나지 않는 사람도 다양한 그림자료를 이용한 설명을 보면 미적분을 다시 보게 될 것이다. 미적분까지 알아야 할 필요가 있냐고 묻는 당신에게 과거를 적분하면 현재가 보이고 현재를 미분하면 미래가 보인다 세상에 변하지 않는 것은 없다. 행성의 위치나 속도뿐 아니라 사람도 변하고 세월도 변한다. 미적분은 이러한 세상의 변화를 설명하는 언어다. 미적분의 시각으로 보면 첨단 과학기술의 원리부터 자연현상, 사회 변화까지 선명하게 드러난다. 미분으로 세상의 순간적인 변화와 움직임을 포착하고 적분으로 작은 변화들이 누적되어 나타나는 상태를 이해할 수 있다. 예컨대 코로나 19 확진자 발생률을 미적분으로 파악할 수 있다. 일일 확진자는 합쳐지는 양이고 누적 확진자는 합쳐진 결과량이다. 일일 확진자를 모두 합치면 누적 확진자가 되고 누적 확진자의 변화율은 일일 확진자가 된다. 일일 확진자는 하루하루 변동이 심하지만 누적 확진자는 꾸준히 증가한다. 일일 확진자는 증가 속도를 나타내는 미분값에 해당하며, 누적 확진자는 일일 증가분을 적분한 값에 해당한다. 한국에서는 코로나19 일일 확진자 수가 갑자기 증가해 최댓값을 보이다가 2021년 3월 말에 들어서면 일일 확진자 수는 여전히 높은 편이지만 변화 기울기는 완만해진다. 물론 누적 확진자 수가 꾸준히 증가하는 것은 변함이 없다. _Ⅲ. 작은 움직임을 모으면 변화의 축이 보인다 적분한 값인 결과량을 통해 현재의 누적 확진자를 파악하고, 미분한 값인 변화량(기울기)를 통해 내일의 확진자 발생률을 예측할 수 있다. 새로운 변수가 등장하지 않는 한, 한 달 후의 확진자 발생률까지 예측할 수 있다. 기후 변화, 주식 시장, 아파트 가격의 추세도 마찬가지다. 다시 말해 과거를 적분하면 현재를 이해할 수 있고, 현재를 미분하면 미래를 예측할 수 있다. 미적분을 이해한다는 것은 변화를 읽는 일이다. 미적분으로 열린 새로운 시대, 미적분으로 예측하는 미래 변화를 읽는 힘을 길러주는 수학 교양서 인간이 미적분을 이해하지 않았더라면, 그 쓸모를 제대로 이용할 줄 몰랐다면 오늘날과 같은 시대는 상상하기 어려웠을 것이다. 이 책은 그러한 미적분을 이용해 미래를 읽고 움직인 사람들의 이야기를 담았다. 스페이스X의 로켓 추진체 재활용 사업은 그동안 많은 실패를 겪고 드디어 성공을 거두기 시작했다. (중략) 무엇보다도 마지막 순간에 로켓 추진체를 안전하게 착륙시키는 기술이 중요한데, 바로 하강속도 제어와 자세 제어 기술이다. 질소 분사 장치가 소량의 질소를 수평으로 분사하여 미세한 회전력을 만들어내면, 일종의 소형 날개인 그리드 핀이 각도를 조정해서 방향을 미세하게 조절한다. 모두 회전운동을 미분적으로 파악해야 가능한 일이다. _Ⅰ. 혁명의 시작, 순간 속도를 계산하라 인공신경망 모델은 기존의 미분방정식 모델과 달리 과학법칙이나 규칙이 아니라 현실 데이터에 기반한 모델이다. 하지만 인공신경망의 알고리즘은 손실함수를 최소화하는 과정에서 미분의 개념을 사용한다. 앞서 이야기한 뉴턴의 법칙 또는 질량보존의 법칙 등 물리법칙에 기반하여 수식화된 미분방정식을 이용하지만 않을 뿐, 인공신경망을 엄청난 양의 데이터로 학습시키는 데 미분의 개념은 필수불가분의 관계다. _Ⅱ. 인공지능이 빅데이터를 학습하는 방법 해일이 치는 장면이나 물이 튀어오르는 유동과 같이 서로 충돌하거나 물체 표면과 상호작용하는 불규칙한 운동을 정확하게 모사하기 위해서는 오일러 방법보다 흩어지는 입자들을 따라가면서 모사하는 라그랑주 방법이 더 적합하다. 디즈니 영화 <겨울왕국>에서는 이와 관련된 수학 모델을 이용해 생동감 있는 눈의 움직임을 표현했다. 주요하게 사용된 MPM 알고리즘은 입자를 개별적으로 보지 않고 연속체로 해석하는데, 눈이 녹은 정도에 따라 눈이 가지는 물성의 변화를 고려하기에 최적의 모델이다. _Ⅳ. 디즈니 영화가 전 세계를 사로잡는 법 또한 적분의 원리를 통해 인체에 칼을 대지 않고도 염증 및 암의 위치를 알 수 있게 되었고, 한 줄의 미분방정식을 통해 애니메이션 제작사 픽사는 전 세계를 사로잡았다. 이 밖에도 도로 설계, 데이터 압축 등을 통해 엿본 미적분의 쓸모는 무궁무진하다. 변화의 최전선에는 수학의 꽃 미적분이 있다. 오늘날 미적분의 쓸모는 고속연산이 가능한 컴퓨터를 만나 더욱 확장되고 있다. 훨씬 똑똑해질 인공지능부터 무인자동차, 게임, AI펀드 등 미적분이 우리에게 선사할 미래는 예측 불가능하다. 이렇게 급변하는 사회에서 미적분을 이해하는 것이야말로 새로운 교양이 아닐까. 이제는 미적분 수식을 풀 필요가 없다 미적분으로 사고하는 것이 중요하다 그동안의 미적분 교양서는 ‘미적분을 얼마나 쉽게 이해하고 풀 수 있는가’에 초점이 맞춰져 있었다. 《미적분의 쓸모》는 다르다. 이 책은 수학의 쓸모에 눈 뜬 사람들 그리고 여전히 ‘계산’이라는 말만 들어도 머리가 지끈지끈한 사람들도 쉽게 읽고 이해할 수 있는 미적분 활용법을 담았다. 무엇보다 도통 읽기조차 어려운 수식이 보이더라도 직접 풀 일이 없도록 했다. 반갑게 들릴지는 모르겠지만, 미적분 계산은 너무 복잡해서 컴퓨터에 맡길 수밖에 없는 것이 현실이다. CT의 적분 원리를 알아보기 위해서 단순화된 신체 단면을 생각해보자. 신체를 4X4의 격자로 나누었을 때 뼈(2)와 장기(1)가 (그림과 같이) 분포되어 있다고 가정하고 광선을 신체의 네 방향으로 투과하면 네 장의 필름을 얻을 수 있다. 필름상에 나타난 영상을 사이노그램이라 한다. 사이노그램은 광선 방향으로 합산된 광량의 적분 결과를 보여준다. 여기서 네 장의 사이노그램에 나타난 적분 결과를 수학적으로 계산해서 신체 내부의 16개 격자값 f(x,y)를 알아낼 수 있다. 쉽게 얘기해서 16개의 방정식을 풀어 16개의 미지수를 계산하는 과정이라 생각하면 된다. _Ⅲ. 데이터의 홍수에서 살아남기 이외에도 인공지능이 빅데이터를 학습하는 방법인 경사하강법을 설명할 때는 산에서 내려오는 일에 빗댄다거나 미분의 기초 개념을 설명할 때는 과속방지카메라를 이용하는 등 일상 속 사례를 끌어와 최대한 이해하기 쉽게 설명한다. 또한 알아야 할 수식이 있다면 최대한 그래프와 다양한 그림자료를 통해 직관적으