미분과 적분

미적분의 원리를 눈으로 이해한다! 우리는 대부분 고등학교에서 미분과 적분을 배운다. 지금 미적분을 배우고 있는 학생이나 과거에 배웠던 사람들 대부분이 이런 생각을 한 번은 해 보지 않았을까? ‘미적분은 너무 어렵다’ ‘왜 이렇게 어려운 것을 배워야 할까? 실생활에서는 별로 쓸 일도 없는데….’ 무릇 세상의 모든 일이 그러하듯, 기초가 탄탄하면 거기에서 갈라져 나오는 응용은 비록 난이도가 높다 해도 쉽게 극복할 수 있다. 그러나 기초 부분을 확실히 이해하지 못하면, 그 내용이 약간만 변형되어도 적절히 대처하기가 어렵다. 미적분 역시 마찬가지이다. 미적분이란 도대체 무엇인가? 미적분이란 간단히 말하면 사물이 어떻게 ‘변화’하는지를 계산하는 수학이다. 예컨대 던져진 공의 속도를 알면, 그 공이 몇 초 뒤에 어디를 어떤 속도로 날아갈지 계산할 수 있다. 즉 미적분을 이용하면 ‘미래’를 예측할 수 있는 것이다. 각 개인이 일상생활에서 미적분을 쓸 일은 거의 없겠지만, 우리 모두가 누리는 여러 가지 물질문명의 혜택은 미적분의 도움 없이는 존재할 수 없다. 사이다병 하나에 들어가는 사이다의 양을 계산하는 것에서부터, 지진을 견디는 건축물의 강도(强度), 비행기의 적절한 날개 크기, 여러 가지 경제 상황의 변동, 우주선의 궤도 등등을 계산하는 데도 미적분이 반드시 필요한 것이다. 이 책은 미적분의 기초 원리를 다양한 그림과 전문가의 쉬운 해설을 통해 ‘눈으로 이해시켜 주는’ 안내서이다. 즉 미적분의 기초를 확실히 잡아 주는 동시에, 그것의 응용 사례와 난이도 높은 내용은 물론 미적분의 탄생 및 발전 과정까지도 상세히 설명한다. 제1장에서는 좌표, 접선, 함수, 변수와 상수 등 기본 개념을 먼저 알아본다. 제2장과 3장에서는 본격적으로 미분과 적분의 원리에 대해 설명한다. 접선을 긋는 원리, 곡선을 움직이는 점, 순간의 진행 방향 등을 바탕으로 미분의 핵심 원리를 그림 위주로 이해시켜 준다. 또 미분과 적분이 왜 역(逆)의 관계에 있는지, 그리고 직선과 곡선으로 둘러싸인 넓이를 계산할 수 있는 원리 등도 자세히 다룬다. 제4장에서는 미적분을 만들어 낸 뉴턴과 라이프니츠의 업적과 생애, 두 사람 사이에 벌어진 ‘미적분의 창시자 논쟁’을 소개하고, 그 후 미적분을 발전시켜 온 여러 수학자들의 연구 과정도 설명한다. 제5장은 ‘심화 지식편’으로, 미적분을 이용한 다양한 문제 해결의 사례와 난이도가 높은 미적분의 내용을 알아본다. 이 책 한 권을 통해, 미분과 적분에 대한 기초를 탄탄하게 세우고 응용의 원리를 몸에 익히는 것은 물론, 미적분에 대한 다양한 배경 지식까지도 ‘완전한 내 것’으로 만들 수 있으리라고 확신한다. 2. 특장 ● 미분과 적분의 근본 원리를 눈으로 확인시켜 주는 150여 컷의 그림 수학은 개념의 정의에서부터 시작하는 과목이다. 즉 기본 개념이 어떻게 정의되는지를 정확히 알아야만 그 다음에 전개되는 여러 가지 내용을 혼란 없이 받아들일 수 있다는 뜻이다. ‘수학의 꽃’이라고도 불리는 미적분에서는 더 말할 나위가 없다. 이 책에서는 미적분의 핵심 개념인 접선·기울기·도함수·원시함수 등이 어떤 원리로 구성되고, 서로 연결되어 있는지를 150여 컷의 그림을 통해 확실히 이해시켜 준다. ● 미분과 적분의 기초가 되는 여러 개념을 풍부한 사례로 설명 미적분은 16~17세기의 유럽 여러 나라가 패권 다툼을 벌이던 상황에서 탄생했다. 이때는 대포의 궤도 등을 정확히 계산할 수 있는 능력이 필요했다. 대포의 궤도, 끈에 매달린 해머가 날아가는 각도, 투포환의 포환이 날아가며 그리는 곡선, 제트코스터의 움직임과 기울기의 의미, 우주선의 속도와 고도 등 여러 가지 사례를 통해 미적분의 기초 개념을 설명함으로써, 그 내용을 자연스럽게 몸에 익히도록 구성했다. ● 뉴턴과 라이프니츠의 논란 등, 미분과 적분에 관한 역사적 배경 해설 미적분의 창시자로는 뉴턴이 첫 손가락에 꼽힌다. 그런데 미적분에는 뉴턴 이외에 창시자가 또 한 사람 있다. 독일의 철학자·수학자인 라이프니츠이다. 뉴턴과 라이프니츠 사이에는 미적분의 창시자 자리를 놓고 격렬한 싸움이 벌어졌다. 왜 그런 일이 일어났는지, 그리고 뉴턴의 역사적 저서인 <프린키피아>에 정작 미적분에 관련된 이야기가 거의 등장하지 않는 이유 등, 미적분을 둘러싼 수수께끼 같은 배경도 자세히 정리한다. ● 미적분의 발전에 기여한 학자들의 이야기 등, 다양한 참고 지식 수록 미적분은 뉴턴을 비롯한 학자들의 노력과 천재성의 결정체이다. 뉴턴과 라이프니츠의 등장 이후 오일러, 라그랑주, 라크루아, 코시 등 미적분을 더욱 정밀하게 발전시켜 나간 수학자들의 업적과 당시의 주요 화제를 소개한다. 한편 비행기, 확률과 금융공학, 지진에 대비하는 건축 설계 등 미적분이 실제로 활용되는 사례 등도 상세히 설명한다. ● 최고 품질의 과학 단행본, ‘뉴턴 하이라이트’ 시리즈 ‘뉴턴 하이라이트’는 과학 잡지 Newton에서 다루었던 다양한 과학 기사를 특정 주제별로 재구성하고, 내용을 더욱 다듬어서 펴낸 과학 단행본 시리즈이다. ‘뉴턴 하이라이트’는 세계적인 과학 기관에서 제공하는 최신 사진 자료와 세련된 일러스트레이션을 통해 과학의 제반 이론과 현상을 설명한다. 물리학·화학·생명과학·지구과학·천문학 등의 다양한 내용으로 구성된 자매편들이 서점에서 절찬리에 판매되고 있다. 집필·협력 다카하시 슈유 高橋秀裕 / 일본 다이쇼(大正) 대학 인간학부 교육인간학과 부교수, 학술 박사 다케우치 도루 竹內 澈 / 일본 도쿄 공업대학 대학원 이공학연구과 건축학 전공 교수, 공학 박사 마쓰바라 노조무 松原 望 / 일본 세이가쿠인(聖學院) 대학 대학원 정치정책학연구과 교수, 이학 박사 사메지마 도시야 鮫島俊哉 / 일본 규슈 대학 대학원 예술공학연구원 부교수, 공학 박사 아사이 게이스케 淺井圭介 / 일본 도호쿠(東北) 대학 대학원 공학연구과 교수, 공학 박사