질문을 던져라, 새로운 세상을 위해
수학자 게오르크 칸토어는 ‘수학에서는 훌륭한 질문이 해답보다 더 가치 있다’고 했다. 그렇다. 누군가 던진 물음이 세상을 바꾸고, 다른 시각을 열어준다.
― 이 돈을 내고 와인을 사면 손해가 아닐까?
미적분은 이렇게 아주 실용적인 질문에서 시작되었다. 16세기의 천문학자 케플러는 와인을 사며 의문이 생겼다. 당시에는 와인을 통째로 사는 경우가 아니면 막대기를 통 안에 넣어 분량을 가늠했다. 그런데 와인이 담긴 배럴이라는 통은 가운데가 불룩해서 통의 1/4 높이의 분량이라고 해서 전체 양의 1/4에 해당하는 가격을 내고 산다면 손해가 아닌가 하는 의문이 생겼던 것이다. 그래서 케플러는 와인 통을 원 모양의 무한대 조각으로 나누어 계산하자고 제안했다. 무한대로 나눔으로써 실제에 가까운 값을 찾아가자는 것, 이것이 바로 미적분의 시작이다.
― 빠른 동물의 집합이 있고 느린 동물의 집합이 있다. 만약 1시간에 25킬로미터를 달릴 수 있는 동물을 빠르다고 한다면, 1시간에 24.95킬로미터를 달리는 동물은 느린 것인가?
이렇게 중간을 인정하지 않는 데서 생기는 문제는 일찍이 아리스토텔레스가 지적했다. 수학에서는 오랫동안 ‘중간’을 다루지 않았지만, 이런 문제를 바탕으로 미국의 수학자 로트피 자데는 ‘퍼지 이론’을 개발했다. 이 논리는 ‘소속도’라는 개념을 도입하여 모호한 것들을 다루며, 결국 이것을 바탕으로 자동 제어 시스템이 만들어진다. 센서를 이용한 카메라나 최적의 세탁 코스를 찾아내는 세탁기, 밥의 온도를 세밀하게 통제하는 보온밥솥 등은 모두 퍼지 이론을 이용한 것이다.
괴짜 수학자들
기원전 3년, 아르키메데스는 《모래알을 세는 사람》이라는 연구 논문을 통해, 아무리 큰 수라도 표현할 수 있으며 지구뿐만 아니라 우주를 가득 채울 모래알의 수도 계산할 수 있다고 자랑했다. 아르키메데스가 계산한 모래알의 수는 8×1063이었다.
속 좁은 뉴턴? 과학계 사람이 아니라도 뉴턴이 모든 시대를 통틀어 가장 위대한 과학자 중 한 명이라는 사실에 이의를 달지는 않을 것이다. 하지만 뉴턴은 다른 과학자들과 잘 어울리지 못했다. 무엇보다도 자신의 의견에 동의하지 않는 사람을 병적일 정도로 견디지 못했다. 그는 토론 중에 너무 격렬하게 화를 내서 과학계 사람들 놀라게 하곤 했다.
지롤라모 카르다노는 장티푸스를 최초로 밝혀낸 뛰어난 의사이자 당대 가장 앞선 수학자였다. 그는 파스칼과 페르마보다 백 년이나 앞서 확률을 체계적으로 연구한 책을 펴낸 확률론의 창시자이다. 화려한 사생활로도 유명했는데 확률에 대한 관심도 그때문이었다고 한다. 게다가 그가 쓴 책에는 도박에서의 효과적인 속임수까지 포함되어 있었다. 적지 않은 수입을 도박으로 탕진해 항상 돈이 궁했다고 한다. 1570년에는 예수의 별점을 본 죄로 이단의 혐의를 받아 몇 달 동안 감옥에 갇히기도 했다. 이렇게 여러 괴팍한 행적으로 유명했던 그는 자신이 미리 예언했던 날에 사망했는데, 자살을 통해 예언을 실현한 것이라는 설이 있다.
무엇을 상상하든 그 이상!
위대한 수학적 발견과 그 배경의 흥미로운 이야기들
원이나 구에서 찾을 수 있는 특별한 값, 파이(π)값 계산은 바빌로니아, 이집트, 중국, 인도, 아랍의 수많은 수학자들이 도전했다. 아르키메데스는 처음 소수점 이하 두 자리까지 정확하게 계산했으며, 뛰어난 수학자 뉴턴은 파이를 소수점 이하 16자리까지 계산했다. 오늘날 컴퓨터는 파이값을 소수점 이하 1012 자리까지 계산해냈고, 소수점 이하 10억 이상의 자리까지 계산하는 PC 프로그램들도 등장했다.
그런가 하면 미국의 수학자 그레이엄은 현존하는 가장 큰 수라는 그레이엄의 수를 이끌어냈다. 그레이엄의 수는 지구상의 모든 물질을 잉크로 바꾸어 쓴다 해도 잉크가 모자랄 것이라고 한다. 평범한 사람의 수준에서는 그저 ‘천재, 그들만의 이야기’라고 할 수밖에 없는 이런 수학자들과 숫자에 대한 집념 어린 이야기는 언제 들어도 신기하고 경이로울 따름이다.
어떤 수학적 문제들은 2200년 동안 수학자들을 괴롭혔고, 어떤 추론은 수세기에 걸쳐서야 증명되거나 때로 지금까지도 해결되지 못했다. 조약돌과 막대기를 이용해 양과 염소를 세던 원시의 이야기에서 드레이크 방정식-지구와 교신 가능성이 있는 우리 은하 내 외계 지성체의 수를 계산하는 방정식-이라는 범우주적인 이야기까지 수학의 역사는 확장되어 왔다. 《수학오디세이》는 위대한 수학적 발견과 그 배경의 흥미로운 이야기를 통해 수학을 좀 더 폭넓게 이해할 수 있도록 도와주는 책이다. 복잡한 개념이나 이론, 수학자들에 관한 흥미로운 에피소드들은 곳곳에 별도의 박스로 정리해 이해를 도왔다.