수학으로 생각하는 힘

"셜록 홈즈처럼 읽히는 수학책이라니!" 꼬리에 꼬리를 무는 수학 이야기 홀린 듯 따라가다 보면, 복잡하게만 보이던 세상의 수수께끼가 명쾌하게 풀려 있다 세상 모든 것을 수학으로 설명할 수 있다고 말하는 이 책은, 심지어 그 설명을 아주 재미나게 해낸다. 집 뒷마당 달팽이 수를 세는 일에서부터 괜찮은 식당을 고르는 알고리듬, 암 양성 판정이 틀릴 가능성, 확률을 오용해 살인 누명을 씌운 법정의 오심, 병실의 거짓 경보를 줄이거나 전염병을 통제하는 방법에 이르기까지…. 세상 모든 장소 모든 순간을 종횡무진하며 우리가 그동안 알아차리지 못했던 수학을 발견하고, 수학적 접근법에 따라 그 답이 완전히 달라지는 문제들을 입체적으로 풀어나간다. 『수학으로 생각하는 힘』은 맨부커상 수상 작가인 이언 매큐언을 비롯해 과학 분야 스타 작가들이 '차세대 수학 스토리텔러'로 주목하는 수리생물학자 키트 예이츠의 매력적인 첫 책이다. 김상욱 경희대 물리학과 교수도 "그야말로 수학 알쓸신잡이다, 너무 재밌다"며 적극 추천했다. 저자는 (방정식 한 번 등장시키지 않고도) 수학을 통해 세상이 돌아가는 숨은 패턴을 읽어내는 흥미로운 지적 탐험으로 독자를 안내한다. "우리는 수학한다, 고로 존재한다" 수학은 일상의 기쁨과 슬픔을 좌우하는 요소이자, 어쩌면 삶과 죽음을 가르는 결정적 문제 ★★★ 수학자 김민형 X 물리학자 김상욱 X 소설가 이언 매큐언… 강력 추천! "이것이 바로 현실 수학! 세상이 이토록 수학적임을 깨닫는 강렬한 여정으로 안내하는 책" >> 암 양성 판정에도 침착할 수 있도록 돕는 수학? ; 일단 심호흡을 하고, 이 검사의 정확도를 계산해보자 유방암 선별검사 결과, 양성 판정을 받았다. 이 선별검사는 '암에 걸린 경우와 그 반대 경우에서, 열에 아홉을 정확하게 구별해낸다'고 한다. 암일 확률이 90%라고?! 충격과 공포로 주저앉기 전에 잠시 수학적으로 접근해보면 도움이 된다. 사실상, 간단한 수학적 논증을 거치면, 이 선별검사에서 받은 양성 판정은 유방암이 아닐 가능성이 압도적으로 높기 때문이다. 평균 발병률 0.4%의 조건에서 50대 여성 1만 명이 이 선별검사를 받았다고 치자. 1만 명 가운데 40명은 유방암이고, 9960명은 아니다. 유방암인 40명 가운데 참 양성은 90%인 36명이다. 문제는 유방암이 아닌 9960명 가운데 10%인 996명이 거짓 양성을 판정받는 데 있다. 양성 판정을 받은 1032명 가운데 36명만이 진짜 암인 것이다. '열에 아홉을 정확하게 구별해내는' 이 검사의 정확도는 3.48%에 불과한 것이다. 검사의 정밀도를 높이는 아주 단순한 방법이 있는데, 바로 두 번째 검사를 받는 것이다. 많은 질병에 있어서 첫 번째 검사는 대개 특이도가 낮은(거짓 양성이 많이 나오는) 선별검사로 진행된다. 값싼 비용으로 잠재적 환자를 최대한 많이 발견하도록 설계하기 때문이다. 두 번째 검사는 대개 진단검사인데, 특이도가 훨씬 높아 거짓 양성 대다수를 걸러낸다. 같은 맥락에서, 유방암 선별검사를 매년 받으면, 아무 이상 없는 사람도 평생 한번쯤은 (거짓) 양성 판정을 받을 가능성이 매우 높아진다. 자, 이제 좀 진정이 되는가? 수학의 방에 들어갔다 나온 당신은 훨씬 담담하게 두 번째 검사를 위한 예약 전화를 걸고 있을 것이다. 좋든 싫든 거짓 양성과 거짓 음성은 피할 수 없다. 현대 기술이 필터링 같은 도구로 일부 문제를 처리하는 데 도움을 줄 수 있지만, 판단과 선택에 관한 문제는 우리 스스로 배워야 한다. 즉, 의심(수학)의 눈으로 검사 결과를 따져봐야 한다. 검사 결과를 완전히 무시할 수는 없지만, 불필요한 불면의 밤을 보내는 일은 피할 수 있다. 덧붙이자면, 더 정확한 검사가 없을 때라도, 동일한 검사를 한 번 더 받는 것으로 결과의 정밀도를 크게 높일 수 있다. (민감도와 특이도와 필터링에 관해서 이 책의 2장을 읽어보자.) *** 최정 정지 알고리듬과 37% 규칙 *** 근사한 저녁 식사 장소를 찾아 나선 커플, 식당을 몇 개까지 지나친 후 고르는 게 최선일까? 둘 다 몹시 배가 고프지만, 좀 근사한 곳으로 가고 싶다. 10곳만 차례로 둘러보기로 하고, 우유부단하게 보이면 안 되니까 한번 지나친 식당으로는 돌아가지 않기로 마음먹는다. 자, 어디쯤에서 멈춰야 성공률을 높일 수 있을까? 이것은 '최적 정지' 문제로, 둘러보기만 하고 지나치는 식당 수를 몇 개로 정해야 하느냐고 묻는다. 너무 일찍 결정을 내리면, 사실상 맹목적 선택이나 다름없으므로 성공 확률은 아주 낮다. 마찬가지로 너무 오래 따지다 보면 최선의 선택을 지나칠 가능성이 높다. 이 문제 뒤에 숨어 있는 수학은 복잡하지만(오일러수가 등장한다!), 최선의 식당을 선택할 확률은 처음 3.7곳(37%)의 식당을 배제했을 때 최대가 된다고 말한다. 즉, 세 곳까지는 평가만 하고 배제한 뒤, 그 세 군데보다 더 나은 식당이 처음 나오는 순간 그곳을 선택하는 것이다. 이 37% 규칙은 대형마트에서 어느 계산대를 고를 것인가에서부터 최종 배우자를 선택하기 전에 몇 번의 연애를 할 것인가에 이르기까지, 실생활에 유용하게 적용할 수 있는 수학 힌트이다. >> 꼬리에 꼬리를 물며 최적 경로로 연결하는 수학 토크쇼! "셜록 홈즈처럼 읽히는 수학책이라니!" (수학자 스티븐 스트로가츠) "알아두면 쓸데있는 신비한 수학 잡학 사전이다" (물리학자 김상욱) "나처럼 수학에 약한 사람도 푹 빠져들어 읽을 수 있다" (소설가 이언 매큐언) 『수학으로 생각하는 힘』은 우리가 사실상 수학 속에서 살아가고 있음을 생생하게 보여주고, 수학의 안경을 건네주어 좀 덜 틀리며 살아가는 법을 알려주는 책이다. 이 책에는 방정식이 전혀 등장하지 않을뿐더러, 미분이나 적분이니 하는 어려운 수학 개념어도 등장하지 않는다. 대신, 이야기가 가득하다. 꼬리에 꼬리를 물고 이어지는 이야기들은 다방면의 주제와 분야를 종횡무진하며, 수학에서 출발하여 세상 문제를 통찰하는(혹은 그 반대 경로의) 지적 탐험으로 독자를 안내한다. 저자는 수학의 응용(또는 오용)이 결정적 원인이 되어 사람들의 운명을 확 바꾸어놓은 실제 사건들을 엮어서 들려준다. '타고난 이야기꾼' '차세대 수학 스토리텔러'로 주목받는 응용수학자답게, 문제에서 해결로 나아가는 실마리가 되는 주제들을 적재적소에 끌어와 흥미롭게 연결하고 뒤섞는다. 여기에는 에이즈 (거짓) 양성 판정을 받고 지옥 문턱까지 다녀온 사람, 잘못된 알고리듬 때문에 파산한 기업가, 악의적 확률 해석 탓에 두 자녀 살해 누명을 쓴 엄마, 기하급수적 증감을 몰라 큰 재산을 날린 투자자, 시원찮은 로마의 수 체계와 전 세계가 채택한 12진법 시간 체계 등이 등장한다. 통계적 속임수에 관련된 윤리적 딜레마도 다루고, 선거와 팬데믹, 혐오, 인공지능 등 사회적 쟁점과 얽힌 수학도 살펴본다. 이 책은 세상 모든 주제에 관해 수학이 알려줄 것이 아주 많다는 사실을 자연스럽게 납득시킨다. 나아가 이 책은 쉽고 단순한 수학 규칙과 도구로 우리를 무장시켜준다. 괜찮은 식당을 선택할 가능성을 최대화하는 방법에서, 의사에게서 뜻밖의 진단 결과를 들었을 때 침착함을 잃지 않는 방법, 신문 헤드라인이 숫자 뒤에 감추고 있는 진실을 해독하는 방법에 이르기까지 크고 작은 삶의 힌트를 터득하게 될 것이다. 또한 커튼 뒤에 숨어 우리 일상을 좌지우지하는 기업의 알고리듬이 어떤 원리인지 따져보고, 치명적 질병의 확산을 막기 위해 취하는 조치에 수학이 어떤 역할을 하는지도 살펴볼 것이다. 이는 삶의 무기까지는 아닐지라도 방패는 거뜬히 되어준다. 반드시 이기는 것보다 틀리지 않는 편을 택하는 게 살아가는 데 있어 더 나을 수 있음을 보여주는 '최적화와 탐욕 알고리듬